初谈套利

本文摘要:我们首次介绍套利概念,并举出简单范例:藉由现金存放与股票买卖所组成的投资组合,复制传统选择权买权,并且进行价差套利。我们指出,资讯的不对称,往往使得市场上的聪明人真的可以白吃别人的午餐。

金融市场到底有没有”稳赚”这件事?答案是有的。

所谓稳赚,就是100%获利,保证赚钱。我们通常称这样的交易为套利。把利润套住了,跑都跑不掉,你只需要等待,等待套好到的钱流入你的口袋。

只是套利的发生机会渺茫、获得的利润微小,一般投资人不容易发现,就算发现,也可能来不及下单。通常市场上职业级的玩家、法人、计量交易员皆会做类似的套利交易。

我们从最简单的例子出发,试着叙述套利行为:

有一档股票S。在时间点 t = 0 时,股价为100元。假设未来在时间点 t = 1 时,有60%的机率涨到120元;有40%的机率跌到80元,如图一左圗所示。

图一:(左图)股价二元模式。 (右图) 到期日为 t = 1,履约价为110元的买权

简单的计算可知这是一个很好的投资机会,期望获利为120 X 60% 80 X 40% = 104 > 100,这是一个有利赌局(Favorable Game)。

聪明的读者可能已经想到,可以使用过去几周我们讨论的凯利公式(Kelly Formula)下注。利用凯利公式去计算该买进多少金额的股票,以达到获利期望值最大化。
凯利赌徒的迷思

没错,根据凯利公式,若只是单纯的买卖股票,凯利公式或许是你最好的参考工具之一。然而,凯利下注也有缺点,注意到我们讨论的是获利期望值最大化,也就是凯利公式是在相同赌局可以重复玩无限多次的情况下,将获利最大化的下注方式。若你只是玩一次,然后输了,那凯利公式可能不是很适合的下注方法。

既然这样,有没有方法是在图一左圗的认知条件下,还可以”保证获利”呢?我们介绍一种选择权的套利方法。

考虑圗一右圗选择权的买权(Call),此买权到期日为时间 t = 1,履约价为110元。换句话说,当t = 1且股价涨到120元时,我有权力用110元的价位买进当时价值为120元的股票,所以此买权的价值为 10 = 120 – 110 (元)。

另一方面,当 t = 1且股价跌到80元,这时就不要执行买权所赋予的权力。当然,此时的买权价值为 0。我们假设 X 代表此买权的价值,如图二所示。


图二:选择权买权在时间点 t =1 的价值

注意到在图二里,我们只知道选择权在时间点 t = 1 的价值是多少?在时间点 t = 0 的价值并不清楚。然而,我们可以从时间点 t = 1 的买权价值回推。如图三所示:

图三:从履约日选择权的价值回推在时间点 t = 0 的价值。

由于股价有60%的机率涨到120元;40%的机率跌到80元,换句话说有60%的机率此买权的价值为10元;有40%的机率此买权的价值为0元。因此,此买权在时间点 t = 0 的价值应该为

换句话说,在时间点 t = 0 时,此买权的价格”理论上”应该为6元。
复制买权

我们是否可以用其他金融商品组合成具有如同图三相同损益的买权。答案是可行的。用”存放款”跟”买卖股票”就可做到!

我们将 x 元存入银行,并且买 y 股股票。为了方便计算,假设银行利率为R = 0。若这样的投资组合要跟图三的买权收益一样(时间点 t = 1时的损益),我们可设下面联立方程式:

这意思代表,我们要向银行借20元后,再去买0.25股的股票。由于在时间点 t = 0时股价为100元,买0.25股需要花25元。我们可拿借出来的20元,再加上自掏腰包5元,即可购买0.25股的股票。注意到,做这档买卖所花的成本只有5元。当时间点 t = 1,股价来到120元时,帐面价值为10元,当时间点 t = 1 且股价跌到80元时,帐面价值为0元。 (如图四所示)

图四:利用存放款与买卖股票何成选择权买权

如何套利?

现在我们有两项金融商品可做比较。第一项是原来的选择权买权,履约价为110元,在时间点 t = 0 时价值为6元,也就是要买进此买权只需花成本6元。第二项为借钱与买股票的投资组合,在时间点 t = 1时具有与第一项选择权相同的损益,但成本只需5元。

很直观的套利行为发生了:在时间点 t = 0,若有人愿意用6元跟你买此档买权,你就可以进行套利交易。步骤如下:

Step 1. 将图三的买权用6元的价格出售。
Step 2. 将售出买权所获得的6元分成两部份:5元跟1元。花5元组合出具有同等损益的买权,如图四左上角。
Step 3. 剩下的1元即为此次套利所获得的金额。

注意到在Step 1卖出的买权已在Step 2用组合的方式买回来,因此可视为手上是没有任何部位的。此次套利所获得的奖励即为Step 3的1元。

为什么用”奖励”这样的字眼?因为套利机会的出现,取决于市场玩家资讯的不对称。你比别人了解的多,你获得的奖励(利润)就多。上述的过程很神奇吗?我们将在下篇文章里继续讨论。

天底下或许真有白吃的午餐,但在这些白吃的背后,必有其聪明的故事!

仔细去研究,你会发现就是因为他人的”白痴”,造成市场资讯的不对称,才让聪明人有机会可以”白吃”套利!

from: http://www.bituzi.com/2013/06/arbitrage.html